元祖ワシ的日記2.0

折り紙でも、加減乗除に平方根を求めることができるそうな。

というわけで、正3角形、正5角形、正17角形、正257角形、正65537角形は折れるはず。

というわけで、サイトを参考にポチポチと折ってみたのがこれ。

確かに出来た。

さらに3乗根も取れるので、正7角形とかも可能。某サイトにはやり方が書いてあるけど、 やっぱり自分で考えて折りたいというのが人情であろう。

定規とコンパスと違って、ずりずりと線を動かせていけるのが大きいんでしょうね。

ちなみに、定規とコンパスでも定規に目盛りがついていれば（たしか2箇所か3箇所）、角の3等分線が可能なそうな。その場合3乗根が取れていることになるから、この場合でも正7角形は作図可能なんだろうなぁ。

５っていったらオイラ的にはこれだなぁ。アキバの老舗。

本日は土砂降りのなか買い物に出掛けたました。 とはいっても遠くまで行く気がおきないのでご近所を巡回。

それでもビショビショでしたが。

でそんな状態で家に帰って一息。

昼ごはんなど食べたりして、さてデザートのセブンイレブンで買ってきたエクレアでも食べるかなと 探すもどこにも無い。

えーとおもってゴミ箱をみると明らかに食った痕跡が。

嫁はカスタードが苦手だから絶対食ってない。

ということは、帰ってきたときに食ったんだろうなぁ。

しかしまったく記憶がないという。これは食ったことになるのだろうか？ 味わってない以上食ってないよな。うん。

8k+1型の素数Pは x^2 + 2y^2 = P と表すことができる。これを計算する方法の自分メモ(および考察)

例)
19 = 4^2 + 2*1^2
193 = 11^2 + 2*6^2


これも3k+1型同様な方法で計算できます。

x^2 + 2 = n*P、すなわち x^2 = -2 (mod P) をまず解くところから。

すなわち、有限体Fpにて x^2 = -2の根をもとめることになります。

以下 N=P-1とします。

ところで 4k+1型の素数には自乗して-1になる数があります。 それは原始根をeとすれば、e^(N/4) に相当するのでした。 8k+1も4k+1型ですから、当然そういう数があります。

その数を iと置けば

(1+i)^2 = 2i

うーん。惜しい。右辺のiが邪魔ですね。しかしNは８の倍数ですから、 自乗して iになる数、すなわち8乗して1になる数があります。それは e^(N/8)のような数です。 この数をjとすれば

(j+ij)^2 = 2ijj = -2

これが答えです。 左辺を実際に計算すると

j = e^(N/8)
ij = e^(3N/8)

ということになります。

例) 193の原始根は5である。N=192だから、N/8は24, 3N/8は72

5^24 = 43 5^72 = 184

故に 43+184=23=34 (mod 192)

が答え。実際

34^2+2 = 1185 = 11 * 193

あとは、前回同様 K(√-2)を考えて、その中で素因数分解をしていく わけですが、ここで右辺に11がでてきました。

これは8k+1型ではありません。困りました。

実は 8k+3型の素数も x^2 + 2y^2 = P と表すことができるのです。 実際11は 3^2+2 と表せるので、K(√-2)では既約ではありません。

が、ここで、説明したような8k+1型のやり方ではどうやっても答えを求めることができません。

そこで、次のようにします。

Fpでは数 x は (P-1)/2乗すると-1になります。 したがって、さらに１乗、すなわち(P+1)/2乗すると、-xになります。

これを利用します。

今 x^2 = -2 (mod P)に解があるとします(※)。両辺を (P+1)/4乗すると

x^((P+1)/2) = (-2)^((P+1)/4)

-x = (-2)^((P+1)/4)

x = -(-2)^((P+1)/4)

これが答えです。

4k+3型の素数Pに関しては P+1が４の倍数になるので、こういう技が使えるわけです。

例) P=11とします。

x^2 = -2 (mod 11)

両辺を3乗して

x^6 = -x = -8 (mod 11)

故に x= 8。

実際、8^2+2 = 66

で、最後に(※)ですが、これは平方剰余の相互法則で解があるかどうかがわかります。 解がある条件は

p=8k+1, 8k+3

となります。

で、これだけでは何ですので、もうちょっと考察を。

P=4k+3

とするとこのFpには-1の平方根がありません。そこでそういう数があるとして、iとおきましょう。

すると、a + bi (a, bはFpの元)というものが考えられます。これはP^2個の元からなります。P^2 = Qとおきます。

ところで、このような数は加減乗除に関して閉じており体になります。0を覗くQ-1個の元に関しては、Q-1乗して初めて1となる数、すなわち原始根を持っています。 (何故そうなるのかと言えば、多項式環 Fp[X]の x^2+1による剰余環が聖域だから)

例)P=11とする。Q=121である。e = (1+4i)とすれば

e^2 = (7+8i), e^3 = (8+3i), .... e^120 = 1

120乗して初めて1になるのでeは原始根。

ところで、奇素数Pにおける、Q-1は必ず８の倍数になるので、 このような体Fqでは1の８乗根があります。

その中でも8乗しないと１にならない数が４つあり、 それは指数が、(Q-1)/8, 3(Q-1)/8, 5(Q-1)/8, 7(Q-1)/8 となるところで、例えばP=11なら

e^15, e^45, e^75, e^105 です。

今e^15をjとおけば、j^3, j^5, j^7が８乗根となります。

実際計算してみると、

j= e^15 = 4+7i
j^3 = e^45 = 4+4i
j^5 = e^75 = 7+4i
j^7 = e^105 = 7+7i


ところで

e^120 = 1
e^60 = -1
e^30 = i


だから、

e^15 = jとすれば ij = e^45

故に (e^15 + e^45)^2 = 8^2 = -2(mod 11)

となるわけです。見れば分かる通り、和を取るとiの係数が０になるのが味噌で、iの係数が0 というのは、つまりその数がFpの元になるということ。

このようにe^15 と e^45が共役だから綺麗に消えてくれるわけですが、 どんな奇素数でも共役になるというわけではありません。

ところで、Fqにはフロベニウス写像というのがあります。簡単に言うと

Fqにおいて、元をp乗すると、必ずその共役元になる

というものです。実際 e^15の 11乗を考えれば、

(e^15)^11 = e^165 = e^45

(e^120=1だから)

さらに考察すれば j=e^15は 8乗根なわけだから、８乗すると１になってしまうわけで、 となると、jをP乗するときは、Pを8で割った余りが重要になります。

もしPを8で割ったあまりが3ならばフロベニウス写像により、jは j^3に移されます。 あまりが７ならば j^7に移されます。

11は 8k+3型ですから、 j^3 すなわち ijが共役元であり、(j+ij)^2が２となります。

一方 8k+7型は、 j^7すなわち -ijが共役元ですから、(j-ij)がFpの元になることがわかります。実際その平方を計算すると

(j-ij)^2 = 2

となります。よって、8k+7型の素数では

平方して 2 となる元があることがわかります。 実際

3^2 = 2 (mod 7)

なるほど、こう考えると平方剰余の相互法則もまた違った視点で見えてくるな。 と思った次第。

続く(予定)

127よりほぼ連続で素数を紹介してきました。このまま続けてもいいんですがここで改めて振り返って小さいほうもやっとこうかなと。（決してネタ切れではありあません。300まではほぼ撮影ずみ。）

一応コミケでこのあたりは本にしているので、オイラ的にはもう完結してるわけですが、ブログしか見てない人にはこれではわからないのではないか？ということに気がつきました。ということで、小さい素数も紹介していきます。

ちなみに2はもうやっているので、3から。

3は三越、そして三井信託銀行。その間には三井タワーがあり、その向かいの工事の受注者は三井不動産でした。

三越は、三井越後屋呉服店ですから、ここは完全にもう三井の聖地ですね。

三井タワーには千疋屋本店が入ってるけど、誰が買うねん？といった値段設定。

ご近所からの1枚。

最近路線が大量に増えた港区の地域コミュニティバス「ちぃばす」のバス停番号です。

路線はおっそろしくひん曲がっているのでかなり使いにくい。詳細は関連エントリをご参考あれ。

ちなみに、バスに乗ると「one hundred seventy tree」とアナウンスされるのが鬱陶しいす。

この辺になると探すのも骨が折れますが、最近はグーグルとか便利なものがあるので、ビル名とかは比較的簡単に検索できます。

ところで、163は虚二次体の類数が１となる最大の素数だそうな。

と言ってもピンと来ない人多数と思いますが、たとえば√-5とかを追加した整数（a+b√-5)のような形の整数）を考えると

6 = 2 * 3 = (1+√-5)(1-√-5)

のように素因数分解の一意性が失われてしまうのです。これが問題を複雑にしている原因で、 これを解決するにはイデアル論が必要になります。

ちなみに、√-1とか√-3とかでは素因数分解の一意性は失われず（類数が1だから）、 議論は普通の素数のように扱え、問題は簡単になります。

類数が1の虚二次体は

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163

しかないということが証明されてます。163というのはそういう性質を持ってる最大の数ということになります。このため、いくつかの面白い式があるらしい。

1)

n^2 + n + 41

は最初の39個は全て素数となる。（これは判別式が-163となることがその理由らしい）

2)

log(640320^3 + 744/π)^2 = 163.0000000000000000000000000000232168...



類体論を勉強すれば分かるのであろう。多分。

ということで足立先生の類対論へ至る道という本を衝動買いしてみたわけですが、誤植が多くて泣いた。ペンで修正しながら読み進め中（復刻版の初版）。泣いた。

実は157は既に既出なんですが(JAIST時代に通勤通学に使ってた国道)、あえて違うのをここに。

東横インは基本的に順番に番号がうたれているので、素数マニアには最適。

番号でホテルが検索できないのが、あれだけど各ホテルのURLに番号があるから、直で入力すれば問題なし。この方法で調べると現在一番大きな素数ホテルは229で八潮にあるらしい。これは撮りに行くべきだな。

東横イン日本橋馬喰横山A1

しかしA1ってなんやねん？と思って調べると出口の番号らしい。 こういう発想はなかった。

ちなみに1つ前の156は東横イン日本橋浜町明治座前 １つ後の158は東横イン青森駅正面口です。

あと、157と言えば、 大腸菌のO157とかもありますなぁ。あのときカイワレ喰ってた大臣が今総理大臣というのだから面白い。 来月も総理大臣かどうかわからんけど。

地下鉄日本橋駅から連結している地下にある喫茶店「キャプテン」

ここは喫茶店的メニュー（ピラフとか定食）がある、ある意味正統派喫茶店なのですが、 そこにある「焼きそば風スパゲティ」なるものがこれ。

味は殆ど焼きそば。ただ、麺だけパスタす。パスタ風焼きそばでもいいんじゃないか？と思ったｗ

その店は東京駅を出てすぐ目の前にある新丸ビルの地下にありました。

BARBARA MARKET PLACE 151

すばらしい。今度食べに行く予定。

そういや、初代ポケモンも151種類ですな。今は何匹いるのかすらわかりませんが。

3n+1型なので、x^2+3y^2とあらわせます。

2^2+3*7^2 = 151