元祖ワシ的日記2.0

忙しいとどうでもいいことを考えはじめるものです。

以下本当にどうでもいいので興味が無い人はスルーしてくだされ。

今、考えてるのは「円分多項式は係数の累乗根を取っていくことで解を求められる」ということについて。

代数の教科書を見れば解があることの証明はある。でも具体的にどうやって解けばいいのかの手段はかかれてないのですよ。

数学者というのは得てして解があることを証明すればあとは放置てのが多いので、ある意味しょうがないんだろうけど。

でも、次数がウルトラ高い円分多項式でも、累乗根をとっていくことで求められるというのだから、これはかなり不思議である。

5のときは高校生でも解けるので、まあよし。
17のときは正17角形の作図で触れられることがおおいので、まぁよし。

7のときはおそらく次のようにするんだろうと思う。

適当な解の1つを　ξとすれば、 ξ^2,　ξ^3,　ξ^4,　ξ^5,　ξ^6も解になる。3が7の原始根なので、3のベキでならべると

(x-ξ)(x-ξ^3)(x-ξ^2)(x-ξ^6)(x-ξ^4)(x-ξ^5) = x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1

1つおきに並べると

(x-ξ)(x-ξ^2)(x-ξ^4) (x-ξ^3)(x-ξ^6)(x-ξ^5)

前半の計算

(x-ξ)(x-ξ^2)(x-ξ^4)　= x^3 - (ξ+ξ^2+ξ^4)x^2 + (ξ^3+ξ^6+ξ^5)x -1

η1= ξ+ξ^2+ξ^4
η2= ξ^3+ξ^6+ξ^5

とおけば

与式= x^3 - η1x^2 + η2x - 1

ところで、
η1+η2= -1
η1η2= 2
だからη1, η2は

(x-η1)(x-η2） = x^2-(η1+η2)x +η1η2 = x^2+1+2 =0

の解。故に　(-1±√-7)/2。

あとは　x^3 - η1x^2 + η2x - 1　を解いてやればいいんだろうけど、これはこの式がたまたま３次方程式だから解けるわけで、5次以上だったらどうするんだ？(例えば11のとき）という疑問が残る。

うーん。この先はどうやって解けばいいんだろう・・・ガロア理論からすると何かの三乗根を加えてやるんだろうけど・・

2chの数学板で質問するか・・・