人の手で実際にコンパスと定規使ったとしても精度が出ないので作図は厳しいでしょうねぇ。 実世界では線には太さがあり点には面積がある(体積もかな?)。 定規では直線は引けない、コンパスで同じ長さを正確に切り取ることもできない。 ...ってことで、どれくらいの精度があればそれらしい図になるかという別の分野の問題になるのでした :-)
そういえば定規とコンパスで平方根を求めるのにあたる 操作がどういうものか、ずーっと気にはなってたものの 自分で考えて辿りつけてないです。 長さaの線分が与えられたときに長さsqrt(a)の線分を 作図しなさい、と言われたとしても暗黙に長さ1ってのが 与えられなければsqrt(a)なんて長さも決まらないのは 乗除算と同じなのはわかるのですが、そこからが...。
発想としてはむしろ逆で長さ１の線分が与えられたときにそれをa倍できる。また1/b倍もできる。ってかんじですかね。 よって任意の有理数が作図できる。そして、√aも作図できるので、有理数ならびにそれの平方根を繰り返して出来る数が作成できるということになります。
あれ? 「そして、√aも作図できるので」といったとき、aには aが有理数,有理数の平方根を4則演算と平方根の組み合わせて 表現できる数という条件がつくのでしょうか? たとえば、長さ1の線分が与えられたところに、超然と e(自然対数の底)という長さの線分が出現したとして、 √eという長さの線分が作図は出来ない? 乗算・除算の場合には、a,bは任意の正数以上には条件が つかなくてたとえばそれぞれ長さ1,π,eの線分が与えられたとして 長さπ・e, π/eの線分の作図は可能ですよね。 定規の操作にはもちろん「測る」というのがありませんので、 a倍する、というのを言うときには長さaの線分を用意しないと とすると、「長さ１の線分が与えられたときにそれをa倍できる」 という言い方はあまり意味がなくて、「長さ1の線分と長さbの線分が あるところに、長さaの線分が与えられたとき、長さa・bの線分を 作図することができる」になるのではないかと。 で、通常はこういう言い方じゃなくて「長さがそれぞれa,bの線分が 与えられたとき、長さa・bの線分を作図することができる」と 長さ1の線分が与えられることを省略して言うんじゃないかなぁ、と 勝手に想像したので「暗黙に長さ1ってのが与えられなければ」 という書き方をしたのでした。 わかりにくくてごめんなさい。
長さ１の線分と長さeの線分が与えられれば√eは作図できますよ。 もちろん√e、√√e、√（√2＋√e） なんて数も作図可能。 ただし、１からスタートして有限回の操作でｅにはたどりつけません。 そんなわけで、あんなたとえになったわけです。