ほぼ雑記的メモ
Installing updates...install: ///usr/include/c++/v1/__string exists but is not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__tuple exists but is not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__string/char_traits.h: Not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__string/constexpr_c_functions.h: Not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__string/extern_template_lists.h: Not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__tuple/make_tuple_types.h: Not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__tuple/pair_like.h: Not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__tuple/sfinae_helpers.h: Not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__tuple/tuple_element.h: Not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__tuple/tuple_indices.h: Not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__tuple/tuple_like.h: Not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__tuple/tuple_like_ext.h: Not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__tuple/tuple_size.h: Not a directory
install: ///usr/include/c++/v1/__tuple/tuple_types.h: Not a directory
install: ///var/db/etcupdate/current/etc/rc.d/growfs_fstab: No such file or directory
install: ///var/db/etcupdate/current/etc/rc.d/var_run: No such file or directory
install: ///var/db/etcupdate/current/etc/rc.d/zpoolreguid: No such file or directory
Not a direcotry
-r--r--r-- 0 root wheel 47182 4月 7 2023 ./usr/include/c++/v1/__string
drwxr-xr-x 0 root wheel 0 3月 2 11:52 ./usr/include/c++/v1/__string/
-r--r--r-- 0 root wheel 30793 3月 2 11:52 ./usr/include/c++/v1/__string/char_traits.h
-r--r--r-- 0 root wheel 13439 3月 2 11:52 ./usr/include/c++/v1/__string/extern_template_lists.h
-r--r--r-- 0 root wheel 8995 3月 2 11:52 ./usr/include/c++/v1/__string/constexpr_c_functions.h
No such file or directory
/var/db/etcupdate/current/etc/rc.d
/var/db/etcupdate/current/etc/rc.d/growfs_fstab
/usr/include/c++/v1/__string
fetch http://ftp.freebsd.org/pub/FreeBSD/releases/amd64/13.3-RELEASE/base.txz
tar xvfp base.txz -C / usr/include/c++/v1/__string usr/include/c++/v1/__tuple var/db/etcupdate/current/etc/rc.d/
swapfile="/swapfile"
md90 none swap sw,file=/swapfile 0 0
swapon: md90 on /swap90: Device already in use
md90 none swap sw,file=/swapfile,late 0 0
8N+1の素数について、もう一つ別の考え方を解説します。多分Tonelli–Shanksのアルゴリズムと同じ考えに基づくものと思われます。$p-1=2^s t$(ただし$t$は奇数)とおきます。すると任意の$x$に対して\[(x^t)^{2^s} = 1\]ですから$x^t$は1の$2^t$乗根です。例えば97を考えると\[96 = 2^5\cdot 3\]ですから $x^3$は1の32乗根です。一般的に1の32乗根は32個あり、そのうち16個が32乗してはじめて1になる数です。ある数$\omega$が32乗して初めて1になる数とすれば$\omega^3, \omega^5, \cdots, \omega^31$もまた32乗根してはじめて1になる数です。よって1つそのような数を見つければ他の数は自然と見つかることになります。(余談ながらその逆数$\omega^{-1}, \omega^{-3},\cdots, \omega^{-31}$も然りです) $\omega$を32乗して初めて1になる数(例えば42)としてその数を2乗、4乗としてこれを木の形にしてみます。(下図参照)空白になっているところにも$2$の冪乗根があるはずですがそれは何かわからないので空欄にしておきます。また平方根についてはaが平方根の1つなら-aもまた平方根ですので剰余を0から95ではなく-48から47までの間になるように書いています。木の葉のほうから辿れば42 → 18 → 33 → 22 → -1
です。この中に$a^3$があれば答えは簡単です。例えば$a$が$47$とすれば、$a^3=33$ですから、1つ下の$18$を使って\[a^3 = 33 = 18^2\]これより両辺に$a$をかけて\[a^4 = 18^2a\]を得て\[(a^2 18^{-1})^2 = a\]が答えになります。$18$の逆数 ($18 x =1$なる数)が出てきますがこれは普通に求めてもいいし、そもそも$18^{16-1}=27$が逆数なのでそれを利用しても簡単に求まります。答えとしては$-12$が得られます。実際$-12^2=47$です。
そうではない場合(例えば$11$)を探す場合は次のようにします。$11^3=-27$です。$-27$を冪冪で累乗していくと\[\begin{eqnarray}(-27)^2 = -47\\(-47)^2 = -22\end{eqnarray}\]となり、ここで$-22$が出ます。$-22$はツリーのルートのすぐ右側にあるので、この数はツリーの右側にあることがわかります。ところで$\omega$ですが次のような性質を持っています。
Powered by Red Leaf ( Rev. c78c769f2 ), © Issei Numata, 2007-2021