街で見かけた素数 その163
ところで、163は虚二次体の類数が１となる最大の素数だそうな。
と言ってもピンと来ない人多数と思いますが、たとえば√-5とかを追加した整数（a+b√-5)のような形の整数）を考えると
6 = 2 * 3 = (1+√-5)(1-√-5)
のように素因数分解の一意性が失われてしまうのです。これが問題を複雑にしている原因で、 これを解決するにはイデアル論が必要になります。
ちなみに、√-1とか√-3とかでは素因数分解の一意性は失われず（類数が1だから）、 議論は普通の素数のように扱え、問題は簡単になります。
類数が1の虚二次体は
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163
しかないということが証明されてます。163というのはそういう性質を持ってる最大の数ということになります。このため、いくつかの面白い式があるらしい。
1)
n^2 + n + 41
は最初の39個は全て素数となる。（これは判別式が-163となることがその理由らしい）
2)
log(640320^3 + 744/π)^2 = 163.0000000000000000000000000000232168...
類体論を勉強すれば分かるのであろう。多分。
ということで足立先生の類対論へ至る道という本を衝動買いしてみたわけですが、誤植が多くて泣いた。ペンで修正しながら読み進め中（復刻版の初版）。泣いた。
Prime numbers in the town, No.163 Iwamoto-cho 163 building, Chiyoda, Tokyo.