元祖ワシ的日記

昨日の答え．

AAAAAAの形の数は 111111で割切れる．111111は7で割切れるので， AAAAAAは7で割切れる．

ABABABの形の数は10101でで割切れる．10101は7で割切れるので， ABABABは7で割切れる．

ABCABCの形の数は 1001で割切れる．1001は7で割切れるので， ABCABCは7で割切れる．

ところで，このような性質は7だけなのであろうか？ 実はコレ，数論の原始根というもの性質に強く依存しているのである．

問題を

「n個の同じ数を並べた場合 n+1で割切れるか？」

という具合で探してみよう．nが奇数でなければいけないのは直ちにわかる． また，3，5，9では条件を満たさないこともすぐにわかる．

じゃあ，10個の同じ数を並べた場合は 11で割切れるだろうか？答えは Yesである．

10の約数は 1, 2, 5である．では，二桁の数を5個，五桁の数を2個並べた場合 も割切れるのだろうか？答えは二桁の場合はNoで，五桁の場合はYesである．

このように11では全ての約数桁に対して7のように旨くいかない． 7は全ての約数桁に対して旨く割り切れる最初の数である．

では，全ての約数桁に対して割切れる次の数はいくつであろうか？