いろいろBUSY

忙しいとどうでもいいことを考えはじめるものです。

以下本当にどうでもいいので興味が無い人はスルーしてくだされ。

今、考えてるのは「円分多項式は係数の累乗根を取っていくことで解を求められる」ということについて。

代数の教科書を見れば解があることの証明はある。でも具体的にどうやって解けばいいのかの手段はかかれてないのですよ。

数学者というのは得てして解があることを証明すればあとは放置てのが多いので、ある意味しょうがないんだろうけど。

でも、次数がウルトラ高い円分多項式でも、累乗根をとっていくことで求められるというのだから、これはかなり不思議である。

5のときは高校生でも解けるので、まあよし。
17のときは正17角形の作図で触れられることがおおいので、まぁよし。

7のときはおそらく次のようにするんだろうと思う。

適当な解の1つを　ξとすれば、 ξ^2,　ξ^3,　ξ^4,　ξ^5,　ξ^6も解になる。3が7の原始根なので、3のベキでならべると

(x-ξ)(x-ξ^3)(x-ξ^2)(x-ξ^6)(x-ξ^4)(x-ξ^5) = x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1

1つおきに並べると

(x-ξ)(x-ξ^2)(x-ξ^4) (x-ξ^3)(x-ξ^6)(x-ξ^5)

前半の計算

(x-ξ)(x-ξ^2)(x-ξ^4)　= x^3 - (ξ+ξ^2+ξ^4)x^2 + (ξ^3+ξ^6+ξ^5)x -1

η1= ξ+ξ^2+ξ^4
η2= ξ^3+ξ^6+ξ^5

とおけば

与式= x^3 - η1x^2 + η2x - 1

ところで、
η1+η2= -1
η1η2= 2
だからη1, η2は

(x-η1)(x-η2） = x^2-(η1+η2)x +η1η2 = x^2+1+2 =0

の解。故に　(-1±√-7)/2。

あとは　x^3 - η1x^2 + η2x - 1　を解いてやればいいんだろうけど、これはこの式がたまたま３次方程式だから解けるわけで、5次以上だったらどうするんだ？(例えば11のとき）という疑問が残る。

うーん。この先はどうやって解けばいいんだろう・・・ガロア理論からすると何かの三乗根を加えてやるんだろうけど・・

2chの数学板で質問するか・・・
Posted by issei

カテゴリ: 数学

コメント一覧

（￣▽￣∥）
ゴンゾー
小学校の算数さえまともに解けないうちがこれみたら頭パンクしそうでしたorz
れと
（￣▽￣∥）（￣▽￣∥）
PICKY
「ξ」←この記号って顔文字のためにあると思ってた！
る
ちょｗ理解するのムリｗｗ 途中の計算式がミミズが這ってるように見えてきました…orz
みなっち
パスいち (っていくつめでもパスだけど)。 高次の解は低次のものから導出できることが証明できればどんな高次なものでも桶なパターン？(計算量は増えるけど) つーか・・・円分多項式自体知りません。代数学は取らんかった(最初から苦手(笑))。
jack
ゴンゾーさん＞ (´Д`) れとさん＞ (*´Д`) PICKYさん＞ (´Д`)(´Д`) るさん＞ ξ　くしー　 η　えーた　です。 みなっちさん＞ まぁ深く考えずに・・ jackさん＞ 証明は数学的帰納法でやってたけど、それみるにn未満のn乗根が可解であるならば、n乗根も可解であるって感じの証明でした。 でも具体的にどうすれば解けるということは教科書には書いてないなぁ。そもそも証明方法は「正規部分群の列がある」ってことを証明しておわりだし・・
Isami
　　　　　　　はじめまして　。 円分多項式 で　漂着致しました。 忙中閑∃の際　解いて　遊んで下さい；
G