元祖ワシ的日記

補足） p次の円分多項式は p-1の素因分解と大きな関係があります。 今回はp=11なので 10 = 2 x 5 故に2乗根（平方根）を求め、5乗根を求めることで、根を求めることができました。 同じ原理で考えれば、もしp=13なら平方根2回と立方根を1回で解くことができます。 同様に、 p=17ならば平方根4回 p=19ならば平方根1回と立方根2回 p=23ならば平方根1回と11乗根1回 p=23のときは11乗根は11通りの選び方があり、その選択肢も多いのですが、これは実際に値を計算をしてと同じになるものを選ぶ以外の方法を知りません。昨今は三角関数などすぐ計算できるので、とりあえずそれで計算するのがよいかなぁと。 また、解くためには p-1の素因数の累乗根が必要ともなりますが、 p-1の素因数の累乗根は既知であるとしても何ら問題はありません。 （数学的帰納法で証明可） 一般に、奇素数pに対し、p-1は偶数ですから最初の拡大は必ず平方根にすることが可能です。 そしてこの平方根は必ず √pまたは√-pとなります。 もっと具体的に言えば、4n+1型の素数は√pに。4n-1型は√-pになります。 もしpが 2^(2^n) + 1型の素数であれば、平方根だけで根を求めることができます。 そのような数は 3, 5, 17, 257, 65537 です。平方根は定規とコンパスで作図可能なので、上記の正多角形は定規とコンパスだけで作図可能ということになります。 最後に数を並べる時ですが、これは原始根にそって並べます。 たとえば11の原始根は2ですので1から始めて2倍2倍で並べてゆくと(11を超えたら11を引く） 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6 といった列ができます。この列を1つおきに並べると 1, 4, 5, 9, 3 2, 8, 10, 7, 6 となります。これがB0,B1の正体です。 余談） C0, D0, E0, F0の選び方はそれぞれ5通りあります。したがって全体としてはで5^4 = 625通りの選び方があることになります。 C0の一つの解をηとすれば、他の4つの解はησ、ησ^2、ησ^3、ησ^4です。 D0, E0, F0も同様です。 ところで、 ξ^4 = (B0+σ^4C0+σ^3D0+σ^2E0+σ^1F0)/5 ξ^5 = (B0+σ^3C0+σ^1D0+σ^4E0+σ^2F0)/5 ξ^9 = (B0+σ^2C0+σ^4D0+σ^1E0+σ^3F0)/5 ξ^3 = (B0+σ^1C0+σ^2D0+σ^3E0+σ^4F0)/5 です。 したがって625通りの組み合わせの中にξ,ξ^4,ξ^5,ξ^9,ξ^3が現れることになります。 すなわち625通り中、5通りだけが 11乗根の解を与えることになります。 試しにその625通りの根を複素平面上に図示してみました。 正五角形の頂点が根の候補で、赤い○をつけたところが11乗根（の半数）です。 角頂点は4個の正五角形の頂点となっています。図では一番小さい五角形の頂点を線で結んでみました。 なんとも意味深な模様ではないでしょうか？